El problema del amigo secreto

Estamos en época de Navidad y, aunque algunos a estas alturas del año quisiéramos matar a Santa Claus o al menos declararlo inconstitucional (si es que me invitan a participar en la "Asamblea Constituyente" propondré dejar proscrito al Viejo Pascuero; argumentos sobran), no nos queda más que tolerarlo por algunas semanas...

De todas formas, para paliar el estrés de estas fechas y simplificar nuestras vidas, hemos decidido como familia implementar un "Amigo Secreto". Este juego consiste en que cada uno de los participantes sólo le hace un regalo a uno de los otros participantes, sin que nadie revele información alguna de quién le regaló a quién. Entonces, en vez de tener que comprar cuatro regalos cada uno (somos una familia de 5), basta con que compremos uno cada uno. ¡De 20 regalos bajamos a 5 regalos!

Para jugar al Amigo Secreto, primero se escriben los nombres de cada uno de los participantes en papeles, luego se doblan los papeles de forma que escondan los nombres; en tercer lugar, se meten los papeles a una bolsa y, finalmente, cada uno de los participantes saca uno de los papeles en forma aleatoria de la bolsa y se entera así de quién será su beneficiario, sin comunicarle nada a nadie. Si a un participante le sale su propio nombre, todos deben volver sus papeles doblados a la bolsa y todos deben volver a sacar un papel de la bolsa. Esto debe repetirse hasta que nadie saque su propio nombre.

Algunas variaciones del juego permiten que un participante que saca su propio nombre devuelva el papel a la bolsa y saque otro, pero este tipo de variaciones no son apegadas a la regla básica del juego que dice que nadie puede recibir información respecto de quién regala a quién. En este caso los jugadores se enterarían de que el participante que sacó su propio nombre no es el beneficiario de ninguno de los anteriores participantes que ya sacaron papeles.

Mucha fue nuestra sorpresa cuando tuvimos que realizar seis intentos antes de que cada uno de nosotros sacara un nombre distinto al propio. Lo que parecía algo simple y obvio, resultó misteriosamente difícil, así que con mi hijo nos pusimos a hacer algunos cálculos. Después de varias horas de rompernos los sesos llegamos a la conclusión de que el número de combinaciones de N nombres que resultan exitosas para el juego del amigo secreto (es decir, que son tales que nadie saca su propio nombre), f(N), está dado por la fórmula recursiva:

f(N) = (N-1)! * [ 1 + sum{i: 2..N-2}( f(i) / i! ) ]

donde N es el número de jugadores, f(1) = 0, f(2) = 1, f(3) = 2 (ver nota al pie si te interesa entender cómo llegamos a esta fórmula)

Entonces, la probabilidad de un juego exitoso PE(N), es decir, de realizar un juego donde todos los jugadores sacan nombres que no son los suyos, se obtiene dividiendo la expresión anterior por el total de combinaciones N! :

PE(N) = f(N)/N! = (1/N) * [ 1 + sum{i: 2..N-2}( f(i) / i! ) ] = (1/N) * [ 1 + sum{i: 2..N-2}PE(i) ]

con PE(1) = 0, PE(2) = 1/2, PE(3) = 1/3 y, que al ser graficada, muestra una rápida convergencia a 37%:

Fig 1. La probabilidad de éxito del amigo secreto converge rápidamente a 37% a partir de N=5

Esto significa que en promedio un poco más de un tercio de los juegos resulta exitoso, lo cual no es tan alentador cuando tienes 20 personas esperando terminar el juego...

Bueno, después de todo esto nos enteramos de que existen aplicaciones en la internet que resuelven el problema al primer intento.

Moraleja: ¡siempre empieza por Google!
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Nota:
Para calcular el Nº de combinaciones exitosas, f(N), en el juego del amigo secreto con N participantes, partimos por el primer participante, quien tiene N-1 posibilidades de éxito. Luego, el segundo participante tiene dos posibilidades: (1) saca el nombre del primer participante o (2) saca un nombre distinto al del primer participante y distinto al suyo.

El caso (1) se reduce entonces a un juego de N-2 participantes, dado que los dos primeros se seleccionaron mutuamente, es decir, en el caso (1) quedan f(N-2) combinaciones exitosas para cada uno de los posibles pares de participantes iniciales.

En el caso (2), el segundo participante tiene N-2 formas de sacar un nombre y dejará en la bolsa N-2 nombres que deberán combinarse en forma exitosa, pero uno de ellos no tiene riesgo de fracaso pues corresponde al nombre del primer participante. Este problema equivale entonces a calcular el número de combinaciones exitosas de N-2 nombres donde sólo hay N-3 que pueden fracasar. Llamemos a esta función g(N-2,N-3).

En resumen, el número de combinaciones exitosas f(N) se puede expresar como:
f(N) = (N-1) * ( f(N-2) + (N-2)*g(N-2, N-3) )

Pero, podemos mostrar que g(N-2, N-3) = (N-3)! * [ 1 + sum{i=3...N-2} ( f(N-i) / (N-i)! ) ], con lo cual llegamos fácilmente a la expresión formulada originalmente para f(N).

Some thoughts on air travel...

These few paragraphs represent some "wishful thoughts" and visions about air travel. I hope that some of you will contribute to the discussion with ideas and comments and together we may gather some good inputs for the air travel industry, a key player in the development of the world and a powerful catalyst of global businesses.

First, I confess that until not long ago I was an airline employee in the commercial and systems areas for 13+ years, so maybe I should have answers to some of the issues posed here. Well, not really! But, at least now I feel that I can better help, being an outsider with insider knowledge.

After all, flying as an airline customer is a very different experience from flying as an airline employee. In fact, one key to the claimed airlines' lack of empathy with their customers may be in the famous and so much appreciated airlines' employee travel benefits and policies: airlines' employees don't really live a normal traveller experience when they travel business or leisure with their own employer airline, so it's hard for them to go back to the office from their latest trip and bring good ideas of improvement to the traveller's experience based on their own travel experience. Instead, when I used to work for a supermarket chain, on weekends I had the real supermarket customer experience, so I could come back to the office on Mondays with good improvement ideas based on my own experience. At the airline, I wasn't the most popular coleague when I once dared to suggest the elimination of the employee travel benefits. But, there sure is an intermediate solution to the issue...

On the "external front", the airline industry has faced huge challenges over the last decade and a half that have distracted and slowed down its innovation pace. Just the escalating terrorism related safety requirements by themselves could have destroyed the whole industry, sucking billions of dollars in investments and adding hours of extra costs and hassle to each trip, spendings and efforts that didn't improve at all the customer experience, but made it much harder and unpleasant.

So, in the era of low cost satellites, ubiquitous WiFi, smartphones and mobile, RFID, cloud, GPS, Waze, Google Maps, Skype, beacons, etc, customers wonder why airlines -having been a flagship of innovation in the past- have been so slow to embrace the new technologies in some obvious areas.

Let's take for example airplane tracking: how can these days a commercial airplane disappear in the air without leaving a trace? Shouldn't airplanes' trajectories be monitored in real time by the airlines and aircraft manufacturers all the time? (This is at least what customers expect these days!) Why do we still need to find a physical black box to discover what happened with a crashed airplane? Couldn't a cloud based black box be a better solution?

The same is true for luggage. How can luggage be lost these days? This is a really perturbing and mysterious experience for customers. In a recent non-stop international business trip the airline lost my luggage (along with the luggage of other 3 or 4 customers), so I didn't have anything to wear for the meeting I had at destination next morning. I was taking my return flight a couple of hours after the meeting and still nobody could give me an answer regarding my luggage. When I was back at origin they told me the luggage had been sent to destination, so I should go home and wait it to come back next morning! After telling the airline agent that I was not going to move from there until I got my luggage, it mysteriously appeared...

Let's focus now on a different area: business travel. Given the nature of my previous job, over the past decade I had to travel for business reasons at a rate of  5 to 10 times per year, normally on medium (3 to 6 hrs flights) or long hauls (longer than 6 hrs flights). For a long haul trip between similar time zones I would typically book a flight departing at night, (try to) sleep on board, arrive early next day at destination, take a shower, have my work meetings and come back that night. It was unthinkable to fly a long haul business trip during the day if you could fly at night, the reason being that we would loose a full work day (and the corresponding company meetings) and we would have to pay an extra hotel night at destination.

Even in the best first or business cabins that I've had the chance to travel, sleeping on board is far from sleeping on a real bed at home or in an hotel (and, if I get to sleep on board, I usually have terrible nightmares!). On the other side, for the airlines it is very hard to make the first or business cabins profitable, given their low seat density; they represent an inefficient use of the aircraft space. So, first and business cabins are a difficult business! Let me dream instead of daytime business trips, where I could comfortably work in the airplane, google for the material I need for my meetings and presentations at destination, hold my office meetings through Skype and arrive at destination ready for a good sleep on a real attached-to-Earth bed that will renovate me for a productive and necessary face-to-face meeting at destination the following day. The airline would save space in the aircraft, the customer would have a better travel experience, the crew wouldn't have to work overnight, etc. I believe an air product like this could be substantially cheaper and more convenient, so it would boost business travel (business price elasticity is low, it's true, but not necessarily in the mid-long term). Of course, the cases of long hauls or ultra long hauls between time zones with big time differences are more complicated, but, anyway, having the right technology on board to fully support business activities would undoubtedly have a positive impact on short, medium and long haul business trips.

On the leisure travel segment, the revamped zeppelin technology that is being researched and developed by some companies is a candidate to revolutionize the industry by offering a massive, cheaper alternative for short and long hauls. This technology, which should be much more efficient and environmentally cleaner than current jetliners, will have a limitation on the speed of the aircrafts (they will probably take around three times longer between any pair of cities), however, this is not a critical factor for leisure trips, neither for cargo transportation. If the zeppelins offer attractive prices for leisure and some fun on board to kill the extra travel time (long hauls would require beds on board though, which would make the economics less attractive than in the short haul case), they will most likely produce a huge boost in leisure traffic around the world.

So, maybe the landscape for air travel in the near future is one dominated by daytime jetliners in the business travel segment and zeppelins in the leisure travel and air cargo transportation segments, who knows!

http://on.rt.com/yg4ikx
http://www.wsj.com/articles/the-new-zeppelins-giants-of-the-skies-1405094514

Inequidad y felicidad: Chile vs Latinoamérica

Mucho se habla en Chile de que el principal problema del país es la distribución de la riqueza. A menudo escuchamos que en este ámbito Chile es el peor país de Latinoamérica. He tenido la suerte de poder viajar bastante al extranjero en los últimos años, incluyendo a diversos países de la región y, puedo decir que al menos desde un punto de vista subjetivo, la anterior tesis no me cuadra. He querido entonces indagar un poco en los datos duros disponibles en diversas fuentes para contrastar las percepciones con la realidad.

Con esto en mente me tomé la molestia de consolidar en el siguiente gráfico (¡disculpen mis pobres aptitudes artísticas!), utilizando los últimos datos confiables que encontré disponibles al 25 de mayo del 2015, en la columna izquierda lo siguiente:

1) el indicador "%Gini" del World Bank. El Gini es un índice agregado de inequidad en la distribución de la riqueza. Mientras mayor este índice, peor es la distribución de la riqueza del país;

2) el ratio "R/P 10%" (fuente Naciones Unidas), que representa el cuociente de los ingresos del 10% más rico sobre el ingreso del 10% más pobre de la población. Al igual que en el caso anterior, mientras mayor es este índice, peor es la distribución de la riqueza. La diferencia con el índice anterior está en que el R/P 10% mide la inequidad entre los extremos de la curva de ingresos, mientras que el Gini agrega toda la curva de ingresos. Si una inequidad grande es algo injusto e indeseable, es precisamente en los extremos de la curva de ingresos donde más indeseable se hace la inequidad. Podemos decir entonces que el R/P 10% representa la "inequidad dura", aquélla más urgente de resolver, aquélla de la que los países más debieran preocuparse, especialmente aquéllos con sistemas y gobiernos más socialistas, si quieren ser consistentes con el discurso que los llevó al poder;

y, en la columna derecha:

3) el "índice de felicidad" del World Happiness Report 2015, que expresa cuán satisfecha y feliz se siente la población de un país.

He incluido aquí en primer lugar el promedio OCDE y luego los datos de cada uno de los países de Latinoamérica que están disponibles en todas las fuentes indicadas.

De este gráfico surgen inmediatamente algunas observaciones:

1) Chile, con 26.2, es el 6º país de Latinoamérica con la mejor distribución de la riqueza medida con el índice R/P 10%, siendo Uruguay (11.8), Venezuela (18.8) y México (21.6) los mejores y Bolivia (93.9), Colombia (60.4) y Honduras (59.4) los peores de la región. Al compararlo con el promedio OCDE (10.1) ni Chile ni nadie en Latinoamérica, excepto Uruguay (11.8), sale bien parado.

2) Además, en este mismo índice de inequidad, Chile está mejor que Argentina (31.6) y que Brasil (40.6), las dos mayores potencias de la región, las dos principales economías del Mercosur y con modelos políticos y económicos que por décadas han sido mucho más socialistas que el chileno.

3) En el índice Gini Chile (50.8) está en el 5º peor lugar de la región, aunque igualmente logra superar a Brasil (52.7). Efectivamente, el Gini de Chile es malo comparado con Latinoamérica y pésimo comparado con el promedio OCDE (33.9), pero si alguna vez lo fue, al menos hoy Chile no es el peor de la región.

4) Chile (6670) es el 6º país más feliz de Latinoamérica, según el World Happiness Report 2015. Lo curioso es que lo superan dos países con mucho peor distribución de la riqueza: Brasil (6983) y Panamá (6786) y, a su vez, Chile supera en felicidad a Uruguay (6485) y al promedio OCDE (6585), que tienen una mucho mejor distribución de la riqueza que Chile.

En conclusión, los datos demuestran que Chile no es el peor país de Latinoamérica en distribución de la riqueza y que, por el contrario, en "inequidad dura", Chile es el sexto país mejor posicionado de la región. Los datos también demuestran que en comparación al promedio OCDE estamos todos en Latinoamérica, incluyendo Chile, muy mal parados en cuanto a los indicadores de inequidad o distribución de la riqueza, con la única excepción de Uruguay.

Por otro lado, y tal vez la conclusión más trascendente que podemos sacar de estos datos es que siendo la inequidad algo muy relevante (especialmente la inequidad dura), la felicidad de los países no está altamente correlacionada con los niveles de equidad y, en el caso de los países analizados, el índice de inequidad dura explica sólo en un 22% la felicidad (ver gráfico en anexo). Entonces, sin descuidar nuestra legítima preocupación por los problemas de equidad, debiéramos poner bastante más énfasis en comprender qué es lo que hace felices a las personas y trabajar para que nuestros índices de felicidad mejoren en el tiempo. ¡Poco sacamos con llegar a ser perfectamente equitativos en ingresos si terminamos siendo todos tristes, enfermos y aburridos!


ANEXO: Correlación entre felicidad e inequidad (incorporo este anexo a sugerencia de J Zambrano).

Al correlacionar los índices de inequidad (en el eje horizontal) con el índice de felicidad de los países de Latinoamérica y el promedio OCDE, concluimos que no hay correlación relevante: sólo de un 22% en el caso de la inequidad dura y de un 3.4% en el caso del índice Gini: